Uendeligheder

v/Hans Anton Salomonsen, lektor, Aarhus Universitet - Institut for Matematik 

Hvis man har to mængder af objekter, kan man afgøre om mængderne er lige store, eller om den ene er mindre end den anden ved at tælle, hvor mange objekter, der er i hver af dem. Det fungerer fint for endelige mængder, Men hvad med uendelige mængder? Er mængden af rationale tal af samme størrelse som mængden af irrationale tal? Hvis ikke, hvilken er størst? Jeg vil bl.a. bevise at mængden af reelle tal er større end mængden af hele tal. Det er et klassisk problem, om der findes en mængde der er større en mængden af hele tal og mindre end mængden af de reelle tal. Kontinuumshypotesen siger, at det er der ikke, men kan det bevises. Det er der et overraskende svar på. Der viser sig en del paradokser når man beskæftiger sig med uendelige mængder. Russels paradoks et af dem: Lad M være mængden af mængder, der ikke er medlem af sig selv. Er M medlem af sig selv? Tænk over det!

Matematikken er opbygget på grundlag af mængdelæren. Det er derfor nødvendigt at finde en måde at håndtere paradokserne på, da matematikken ikke tolererer indre modstrid.

I skal være opmærksomme på, at jeres reserverede plads bortfalder kl. 17. Det er derfor vigtigt, at I ankommer før kl. 17, selvom foredraget først starter kl. 17.15.