Introduktion til talteori og algebra - forløb over 3 tirsdage

 

v/Benjamin Klahn

 

 

Primtallene er en mystisk mængde af tal. Man har studeret dem i årtusinder, men man har stadig ikke kortlagt, hvordan de er fordelt. I det antikke Grækenland vidste man allerede, at der var uendeligt mange primtal, men at finde mønstre i primtallene er stadig noget, matematikere bryder hovedet med den dag i dag. Det er fx uvist, om der er uendeligt mange par af tvillingeprimtal, som er primtal, der har afstand 2. Fx er 3 og 5 tvillingeprimtal, og 17 og 19 er også.

 

I øvrigt, hvorfor findes der ikke tre tal a, a + 2, a + 4, så de alle er primtal hvis a > 3? Det vil vi være i stand til at svare på, når vi har lært om restklasseregning, som fortæller os, hvad divison med rest er for en størrelse – fx hvilken dag i ugen det er. Hertil knytter sig den kinesiske restklassesætning, som siger, at resten ved division med 2 tal m og n giver resten ved divison med mn – i hvertfald hvis m og n er indbyrdes primiske, som vil sige, at der ikke er noget tal større end 1, som deler både m og n.

 

Primtal er dog ikke kun gak og løjer. Som vi skal se, kan et primtal skrives som et produkt af primtal på præcis en måde. Primtallene kan så ses som en slags byggesten for alle andre tal. Faktisk beror meget af sikkerheden bag NEM-ID på netop dette.

 

I løbet af undervisningen vil der være rig mulighed på at kigge på og diskutere spændene opgaver og diskutere dem. Desuden vil vi som en integreret del af undervisningen se på forskellige bevistyper og lære at bruge dem på konkrete problemstillinger.

 

Emner vi kan komme ind på er; uendeligt mange primtal, største fælles divisor og Euklid’s algoritme, reformulering af primtallene, entydig faktorisering af de hele tal, antallet af divisorer og Euler’s phi funktion, restklasseregning og den kinesiske restklassesætning, Fermats lille sætning, kvadratiske rester, definition af grupper og ringe, polynomier og entydig faktorisering for polynomier, de Gaussiske heltal, primtal som sum af to kvadrater.